2.1解析函数的概念 函数复变函数的导数 定义： lim极限 存在,则就说f 导数，记作应该注意：上述定义中 的方式是任意的。 +2yi是否可导? limlim 2yi的导数不存在. 2yi在整个复平面处处不可导.） limlim 在复平面上除原点外处处不可导。我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在 我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在 该点极限一定存在，反之不一定成立 该点极限一定存在，反之不一定成立..那么可导与连 那么可导与连 续有何关系？ 续有何关系？ 如上例如上例f +2yi，显然在复平面上处处连 ，显然在复平面上处处连 续．但在复平面处处不可导 续．但在复平面处处不可导.. 2.1.2 2.1.2 复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分 复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分 概念类似。解析函数的定义 概念类似。解析函数的定义 设函数 设函数 在在 可导，则由导数的定义可得 可导，则由导数的定义可得 其中 其中 。因此，解析函数的定义 。因此， 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量， 是函数是函数 的改变量 的改变量 的线性部分 的线性部分.. 我们称 我们称 为函数 为函数 记作记作 如果函数在点 如果函数在点 的微分存在，则称 的微分存在，则称 在区域D内处处可导,就说f 都是复变数的可导函数时，可以证明下列求导公式与法则成立： 解析函数的概念函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。 在区域内： +2yi在整个复平面上不解析。 解析： 否则称为奇点。内解析： 在区域D 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。 ：对函数f iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？ 换句话说： 即存在于是 并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 iv(x,y)在其定义域D内解析的 充要条件是u(x,y) 并满足Cauchy-Riemann方程. u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy 可导的充分必要条件是: 点满足Cauchy-Riemann方程。推论： 处一阶偏导数连续且满足方程, 例题2判断下列函数在何处可导, 在何处解析: 在复平面内处处不可导,处处不解析； xy,所以 但在复平面内任何地方都不解析. 是区域内的解析函数， 为任意常数是区域内的 曲线族。解析函数的定义 ：两曲线在交点处的切线 两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线 由解析函数定义可知，函数在区域内解析 由解析函数定义可知，函数在区域内解析 与在区域内可导是等价的 与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解但是，函数在一点处解 析和在一点处可导是不等价的两个概念 析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，就是说， 函数在一点处可导，不一定在该点处解析 函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数但函数 在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及 在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及 其邻域均可导） 其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可函数在一点处解析比在该点处可 导的要求要严格得多 导的要求要严格得多.. 关于上节课的几个概念 关于上节课的几个概念 考虑只有一个点的集合考虑只有一个点的集合E:{A} AA不是聚点，是孤立点不是聚点，是孤立点, 是边界点是边界点 所以所以EE是闭集。 闭集包含它的全部聚点，但可能有些集闭集包含它的全部聚点，但可能有些集 合没有聚点。（任意有限个点的集合） 合没有聚点。（任意有限个点的集合） 作业 P26: